Question

已知动圆过定点，且与直线相切，椭圆的对称轴为坐标轴，点为坐标原点，是其一个焦点，又点在椭圆上．

（1）求动圆圆心的轨迹的标准方程和椭圆的标准方程；

（2）若过的动直线交椭圆于点，交轨迹于两点，设为的面积，为的面积，令的面积，令，试求的取值范围.

Answer

（1），（2）

【解析】

试题（1）动圆圆心满足抛物线的定义：，所以方程为，而椭圆标准方程的确定，利用待定系数法：（2）先表示面积：抛物线中三角形面积，利用焦点，底边OF为常数，高为横坐标之差的绝对值，再根据直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解；椭圆中三角形面积，利用A点为定点，底边AF为常数，高为横坐标之差的绝对值，再根据直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求解；研究函数关系式：是一元函数，可根据直线斜率k取值范围求解

试题解析：（1）依题意，由抛物线的定义易得动点的轨迹的标准方程为：

依题意可设椭圆的标准方程为，

显然有，∴，∴椭圆的标准方程为

（2）显然直线的斜率存在，不妨设直线的直线方程为：①

联立椭圆的标准方程，有，

设则有，

再将①式联立抛物线方程，有，设得，∴，

∴，

∴当时，，又，∴