Question

已知函数.

（1）设实数（为自然对数的底数），求函数在上的最小值；

（2）若为正整数，且对任意恒成立，求的最大值．

Answer

（1）；（2）3

【解析】

（1）求得函数的定义域和导函数，对分成和两种情况讨论的单调区间，由此求得在区间上的最小值.

（2）将不等式分离常数得到，构造函数，利用导数求得取得最小值时对应的的取值范围，由此求得的最大值.

（1）的定义域为，∵，令，得,

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

当时，在单调递增，

当时，得，.

（2） 对任意恒成立，

即对任意恒成立， 即对任意恒成立.

令

令在上单调递增.

∵

∴所以存在唯一零点，即.

当时，；

当时，；

∴在时单调递减；在时，单调递增；

∴

由题意，.

又因为，所以的最大值是3.