Question

已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于、，且，点是弧（为原点）上一动点，以为圆心的圆与直线相切，当圆的面积最大时，圆的标准方程为_____．

Answer

【解析】

作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线的斜率，可得出直线的方程，再利用当点到直线的距离最大时，圆的面积最大，由此求出点的坐标，并计算出点到直线的距离，作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程.

抛物线的标准方程为，抛物线的焦点坐标为，

直线的斜率，

所以，直线的方程为，即.

当点到直线的距离最大时，圆的面积最大，如下图所示：

设点，点在直线的下方，则，

点到直线的距离为，当时，取最大值，

此时，点的坐标为，因此，圆的标准方程为.

故答案为：.