Question

如图，正三棱柱的所有棱长都是2，分别是的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）证明平面即可

（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量即可.

（1），是的中点，，

平面，平面平面，

平面，.

又在正方形中，分别是的中点，

易证得：，，

，，即.

又，平面，平面，

所以平面平面.

（2）取中点，以为轴建立空间直角坐标系，

，，，，

，，

，，

设平面的一个法向量为，则，

令，则，

设平面的一个法向量为，

则，

令，则，

设二面角的平面角为，观察可知为锐角，

，

故二面角的余弦值为.