Question

已知是椭圆的左、右焦点，圆（）与椭圆有且仅有两个交点，点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过正半轴上一点的直线与圆相切，与椭圆交于点，若，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由条件可得，然后将点代入可求出

（2）设斜率为，，先由直线与圆相切可得，然后联立直线与椭圆的方程可得，，然后由可得，然后可求出

（1）依题意，得，所以，

所以椭圆为，将点代入，解得，则，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由题意知直线的斜率存在，设斜率为，（），

则直线方程为，

设，，直线与圆相切，则，即，

联立直线与椭圆方程，消元得，

，，，

因为，所以，即，，

所以，解得，即，，

所求直线方程为.