Question

设数列的首项为常数，且，且.

（1）证明：是等比数列.

（2）若是递增数列，求的取值范围.

Answer

（1）证明见解析

（2）

【解析】

（1）根据等比数列的定义，结合条件，计算即可得证；
（2）运用数列的通项公式，作差，再由为偶数和奇数，通过数列的单调性，即可得到范围.

（1）证明：因为，

∵，所以数列是等比数列.

（2）由（1）得，如果恒成立，

即对任意均成立.

化简得，.

当为偶数时，，

因为是递减数列，

所以，即；

当为奇数时，，

因为是递增数列，

所以，即.

故的取值范围为.