Question

如图，圆，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）曲线与直线相交于，两点（点在轴上方），且.点，是曲线上位于直线两侧的两个动点，且.求四边形面积的取值范围.

Answer

（1）

（2）

【解析】

（1）连接，根据题意可得，可得动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，则方程求可；

（2）由，所以，设直线，联立，利用韦达定理得，同理得，设四边形面积为，可得，求其范围即可.

（1）连接，

根据题意，则，

故动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，设其方程为，

可知，，则，

所以点的轨迹的方程为，

故椭圆的标准方程为；

（2）由题意可知，直线，直线的斜率都存在且不等于0，

因为，所以，

设直线的斜率为，则直线，

设，

由得①

依题意，方程①有两个不相等的实数根，即根的判别式成立，

即，

化简得，解得，

因为2是方程①的一个解，所以，

所以，

当方程①的判别式时，，此时直线与椭圆相切，

由题意，可知直线的方程为，

同理，易得，

由于点是椭圆上位于直线两侧的两个动点，，

且能存在四边形，则直线的斜率需满足，

设四边形面积为，则

，

由于，故，

当时，，即，即.

所以四边形面积的取值范围是.