Question

已知.

（1）若函数在点的切线与圆相切，求实数的值.

（2）已知，当时，求实数的取值范围.

Answer

（1）2（2）

【解析】

（1）求导求出，求出切线方程，利用与单位圆相切，即可求出；

（2）构造函数，求恒成立时的范围，注意，所以递增满足题意，若单调递减，不满足题意，转化为求函数单调性，即可求出结论.

（1）由题知，，，

在点的切线斜率为，

在点的切线方程为，即，

由题知，，解得.

（2）设

，

设，，

当时，，，，，

即在上是增函数，，

当时，，则当时，，

函数在上是增函数，当时，，满足题意，

当时，，

在上是增函数，趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，

存在上，使，

当时，，函数在是减函数，

当时，，不满足题意，

综上所述，实数的取值范围为.