Question

过抛物线: ()上一点(点不与原点重合)作抛物线的切线交轴于点，点、是抛物线上异于点的两点，设为的重心(三条中线的交点)，直线交轴于点.

（1）设（），求直线的方程；

（2）求的值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）利用导数的几何意义结合点斜式方程，即可得出直线的方程；

（2）设出点，的坐标以及直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，利用韦达定理得出，的值，由重心坐标公式整理得出，结合得出，进而得出，，最后由得出的值.

（1）因为，，，所以直线的斜率

所以直线的方程，即.

（2）由题意得，点的坐标，设，

直线的方程为

由，联立得.

由韦达定理，得，.

因为为的重心，所以

得，代入有

，，因此