Question

已知抛物线上一点到焦点的距离.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点的直线交抛物线与，两点，在轴上是否存在定点（异于点），使得，如果存在，请求出定点的坐标，如果不存在请说明理由.

Answer

（1）（2）存在，

【解析】

（1）根据，求得，得到点，再代入抛物线方程求解.

（2）设过点的直线方程为，与联立抛物线得：，设点，，，根据，则两直线的斜率互为相反数，即，再由求解.

（1）因为，

所以，点，

代入抛物线方程得，，

解得，

所以抛物线方程是.

（2）设过点的直线方程为，

与抛物线方程联立得：，

，，

设点，，，

，，

因为，

所以，

即，

，

所以，

所以，

由于具有任意性，所以，即.