Question

如图所示在四棱锥中，下底面为正方形，平面平面，为以为斜边的等腰直角三角形，，若点是线段上的中点.

（1）证明平面.

（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据为的中点，为的中点，有，再根据线面平行的判定理证明.

（2）取中点，由平面平面，得平面，即，，俩俩垂直，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，再利用面面角的向量法求解.

（1）连结，相交于点，连结，，

为的中点，为的中点，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）取中点，中点，连结，，，，因为平面平面，所以平面，

即，，两两垂直.

以，，为，，轴建立空间直角坐标系如图所示：

，，，，

，，

设平面的法向量为，

则，即，

令z1=1，，

，，

设平面的法向量为，

则，即，

令z2=1，

所以.

二面角的平面角的余弦值为.