Question

已知椭圆的左右焦点分别为，，该椭圆与轴正半轴交于点，且是边长为的等边三角形.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点任作一直线交椭圆于，两点，平面上有一动点，设直线，，的斜率分别为，，，且满足，求动点的轨迹方程.

Answer

（1）（2）点的轨迹的方程为

【解析】

（1）根据焦点，得到 的关系求椭圆的方程.

（2）当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，与椭圆方程联立，得，因为直线，，的斜率分别为，，，且满足， 所以有，再利用韦达理化简求解.注意斜率不存在的情况的分析.

（1）因为是边长为的等边三角形，

所以 ，

所以椭圆标准方程为.

（2）当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，

设，，，

联立方程，

得，

由韦达定理得，

，，

因为，

所以，

所以，

即，

所以或（舍去），

②当过点的直线斜率不存在时，

即为，此时 ，

可知直线上任意一点亦满足条件.

所以动点的轨迹的方程为.