Question

在四棱锥中，平面平面PCD，底面ABCD为梯形，，，M为PD的中点，过A，B，M的平面与PC交于N.，，，.

（1）求证：N为PC中点；

（2）求证：平面PCD；

（3）T为PB中点，求二面角的大小.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45°

【解析】

（1）利用线面平行的性质可得，又由M为PD的中点，即可求证N为PC中点；

（2）利用面面垂直的性质，可过点作,可证，再结合线面垂直的判定定理即可求证；

（3）采用建系法以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角的大小

（1），平面，平面，平面，

由线面平行的性质可得，，

又，，

M为PD的中点，为PC的中点；

（2）过点作交与点，

又平面平面PCD，交线为，故平面，

又平面，，

又，，平面PCD；

（3）由（2）可知平面PCD，，故以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图：

求得，

为的中点，故，，，

可设平面的法向量为，平面的法向量为，故有，取得，则，故

，故二面角的大小为45°