Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数在上的单调区间；

（Ⅱ）求证：当时，函数既有极大值又有极小值．

Answer

（1）单调递增区间是，，单调递减区间是；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出导函数，解二次不等式即可得到单调区间；

（2）当时，对x分类讨论，结合极值概念，即可得到结果.

（1）当时，

所以，

令得，或.

当变化时，的变化情况如下表：

所以在上的单调递增区间是，，单调递减区间是.

(2)当时，

若，则，

所以

因为，所以

若，则，

所以

令 ，

所以有两个不相等的实根，且

不妨设，所以当变化时，的变化情况如下表：

因为函数图象是连续不断的，

所以当时，即存在极大值又有极小值.