Question

已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，O为原点，点P为椭圆C上不同于A、B的任一点，若直线PA与PB的斜率之积为，且椭圆C经过点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若P点不在坐标轴上，直线PA，PB交y轴于M，N两点，若直线OT与过点M，N的圆G相切.切点为T，问切线长是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.

Answer

（1）；（2）是定值，定值为3

【解析】

（1）由斜率之积可求得，的关系，将代入可再得，的关系，解出，的值，即可求出椭圆的方程；

（2）由（1）得，的坐标，设，满足椭圆的方程，得直线，，求出，的坐标，再用圆中切割线定理得切线长的值．

（1）设，由题意得，，，

而得：①，

又过②，所以由①②得：，；

所以椭圆的方程：；

（2）由（1）得：，设，，则直线的方程，令，则，所以的坐标，

直线的方程：，令，，所以坐标，

（圆的切割线定理），再联立，