Question

定义：给定整数i，如果非空集合满足如下3个条件：

①；②；③，若，则.

则称集合A为“减i集”

（1）是否为“减0集”？是否为“减1集”？

（2）证明：不存在“减2集”；

（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.

Answer

（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；，，，3，，，3，5，，，3，5，，，，

【解析】

（1），，，，即可得出是“减0集”，同理可得不是“减1集”．

（2）假设存在是“减2集”，则若，那么，当时，有，对，分类讨论即可得出．

（3）存在“减1集” ．．假设，则中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设，，而，因此．假设，，而，因此．因此可以有，．假设，，而，因此．假设，，，，，因此．

因此可以有，3，．以此类推可得所有的．

（1），，，，是“减0集”

同理，，，，，不是“减1集”．

（2）假设存在是“减2集”，则若，

那么，当时，有，

则，一个为2，一个为4，所以集合中有元素6，

但是，，与是“减2集”，矛盾，故不存在“减2集”

（3）存在“减1集”．．

①假设，则中除了元素1以外，必然还含有其它元素．

假设，，而，因此．

假设，，而，因此．

因此可以有，．

假设，，而，因此．

假设，，，，，因此．

因此可以有，3，．

以此类推可得：，3，5，，，，，

以及的满足以下条件的非空子集：，，，3，，，3，5，，