Question

已知数列满足条件，且，

（1）计算、、，请猜测数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明；

（2）设，求的值.

Answer

（1），，，；猜测；证明见解析（2）

【解析】

（1）计算前几项，猜想数列的通项，再利用数学归纳法进行证明；

（2）确定数列的通项，利用裂项相消求和法，即可求得结论.

【解析】
（1）当时，，且，

当时，，

当时，，

∴

猜测.

下面用数学归纳法证明：

ⅰ当n=1，2，3，4时，等式已成立；

ⅱ假设当时，，

则由，有：，

即时，等式也成立，

综上，成立.

（2），∴

∴

∴