Question

如图，三棱柱中，.

（1）求证：；

（2）若平面平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）如图，设的中点为，连接，证明平面，得到答案.

（2）如图，建立空间直角坐标系，平面的法向量，再利用向量夹角公式计算得到答案.

（1）如图，设的中点为，连接，

又设，则.

在中，的中点为，故

在中，，所以为等边三角形.

又的中点为，所以，

因为，，且，

所以平面，∵平面，所以，

又，所以.

（2）因为平面平面，平面平面，且，

故平面，如图，建立空间直角坐标系，

则，

故，

设平面的法向量，则有

令，得，

设直线与平面所成角为，则，

故直线与平面所成角的正弦值为.