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已知两点分别在轴和轴上运动,且,若动点满足. (1)求出动点的轨迹的标准方程; ...

已知两点分别在轴和轴上运动,且,若动点满足.

1)求出动点的轨迹的标准方程;

2)设动直线与曲线有且仅有一个公共点,与圆相交于两点(两点均不在坐标轴上),求直线的斜率之积.

 

(1); (2). 【解析】 (1)计算得到,根据,计算得到答案. (2)讨论直线的斜率存在和直线的斜率不存在两种情况,计算得到答案. (1)因为,即 所以,所以 又因为,所以,即,即. 所以曲线的标准方程为. (2)当直线的斜率存在时,设的方程为. 由方程组得. ∵直线与椭圆有且仅有一个公共点, ∴,即. 由方程组得, 则. 设,则, 设直线的斜率分别为, 所以 , 将代入上式,得. 当直线的斜率不存在时,由题意知的方程为. 此时,圆与的交点也满足. 综上,直线的斜率之积为定值.
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考点分析:
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2019年上半年我国多个省市暴发了非洲猪瘟疫情,生猪大量病死,存栏量急剧下降,一时间猪肉价格暴涨,其他肉类价格也跟着大幅上扬,严重影响了居民的生活.为了解决这个问题,我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情,扩大生产;另一方面积极向多个国家开放猪肉进口,扩大肉源,确保市场供给稳定.某大型生猪生产企业分析当前市场形势,决定响应政府号召,扩大生产决策层调阅了该企业过去生产相关数据,就一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系进行研究.现相关数据统计如下表:

生猪存栏数量(千头)

2

3

4

5

8

头猪每天平均成本(元)

3.2

2.4

2

1.9

1.5

 

1)研究员甲根据以上数据认为具有线性回归关系,请帮他求出关于的线.性回归方程(保留小数点后两位有效数字)

2)研究员乙根据以上数据得出的回归模型:.为了评价两种模型的拟合效果,请完成以下任务:

①完成下表(计算结果精确到0.01元)(备注:称为相应于点的残差);

生猪存栏数量(千头)

2

3

4

5

8

头猪每天平均成本(元)

3.2

2.4

2

1.9

1.5

模型甲

估计值

 

 

 

 

 

残差

 

 

 

 

 

模型乙

估计值

3.2

2.4

2

1.76

1.4

残差

0

0

0

0.14

0.1

 

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和,并通过比较的大小,判断哪个模型拟合效果更好.

3)根据市场调查,生猪存栏数量达到1万头时,饲养一头猪每一天的平均收入为7.5元;生猪存栏数量达到1.2万头时,饲养一头猪每一天的平均收入为7.2元若按(2)中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本,问该生猪存栏数量选择1万头还是1.2万头能获得更多利润?请说明理由.(利润=收入-成本)

参考公式:.

参考数据:.

 

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如图,三棱柱中,.

1)求证:

2)若平面平面,且,求直线与平面所成角的正弦值.

 

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已知等差数列和递增的等比数列满足:且,

(1)分别求数列的通项公式;

(2)设表示数列的前项和,若对任意的恒成立,求实数的取值范围.

 

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如图,在中,边上的点,上的点,,则__________.

 

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如图所示,在正四棱锥中,底面是边长为4的正方形,分别是的中点,,若在同一球面上,则此球的体积为______.

 

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