Question

已知函数（为常数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在内有极值，试比较与的大小，并证明你的结论.

Answer

（1）当时，在上是增函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数； （2）当时，；当时，；当时，.见解析

【解析】

（1）求导得到，讨论，，三种情况计算得到答案.

（2）根据题意有一变号零点在区间上，得到，构造函数，根据函数的单调性得到答案.

（1）定义域为，

设

当时，，此时，从而恒成立，

故函数在上是增函数，在上是增函数；

当时，函数图象开口向上，对称轴，又

所以此时，从而恒成立，

故函数在上是增函数，在上是增函数；

当时，，设有两个不同的实根，

共中，

令，则，

令，得或；令，得或，

故函数在上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数.

综上，当时，函数在上是增函数，在上是增函数；

当时，函数在上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数.

（2）要使在上有极值，由（1）知，①

则有一变号零点在区间上，不妨设，

又因为，∴，又，

∴只需，即，∴，②

联立①②可得：.

从而与均为正数.

要比较与的大小，同取自然底数的对数，

即比较与的大小，再转化为比较与的大小.

构造函数，则，

再设，则，从而在上单调递减，

此时，故在上恒成立，则在上单调递减.

综上所述，当时，；

当时，；

当时，.