Question

在三棱锥中，底面，，是线段上一点，且.三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，则所得截面圆的面积的最小值为____.

Answer

【解析】

将三棱锥补成直三棱柱，根据球的性质，确定球心位置，要使过点作球的截面圆的面积最小，只需截面与垂直，即可求解.

将三棱锥补成直三棱柱，

则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球，

记三角形的外心为，设球的半径为，

，则球心到平面的距离为，即，

连接，则，所以.

在中，取的中点为，连接，

则，，所以.

在中，，

由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小，

设此时截面圆的半径为，则，

所以最小截面圆的面积为.

故答案为:.