Question

在三棱锥中，底面，，是线段上一点，且.三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

Answer

C

【解析】

将三棱锥补成直三棱柱，根据球的性质，确定球心位置，要使过点作球的截面圆的面积最小，只需截面与垂直，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解.

将三棱锥补成直三棱柱，

且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球，

记三角形的中心为，设球的半径为，，

则球心到平面的距离为，即，

连接，则，∴.

在中，取的中点为，连接，

则，，

所以.在中，，

由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小，

设此时截面圆的半径为，

则，

所以最小截面圆的面积为，

当截面过球心时，截面面积最大为，

所以，，

球的表面积为.

故选:C.