Question

在底面为菱形的四棱柱中，平面.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）由已知可证，即可证明结论；

（2）根据已知可证平面，建立空间直角坐标系，求出坐标，进而求出平面和平面的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解.

方法一：（1）依题意，且∴，

∴四边形是平行四边形，∴，

∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵平面，∴，

∵且为的中点，∴，

∵平面且，

∴平面，

以为原点，分别以为轴、轴、轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

∴

设平面的法向量为，

则，∴，取，则.

设平面的法向量为，

则，∴，取，则.

∴，

设二面角的平面角为，则，

∴二面角的正弦值为.

方法二：（1）证明：连接交于点，

因为四边形为平行四边形，所以为中点，

又因为四边形为菱形，所以为中点，

∴在中，且，

∵平面，平面，

∴平面

（2）略，同方法一.