Question

已知椭圆()的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.

（1）求的方程；

（2）直线交于，两点，且.已知上存在点，使得是以为顶角的等腰直角三角形，若在直线的右下方，求的值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）由的短轴为直径的圆与直线相切求出，再由离心率和关系，可求出椭圆标准方程；

（2）将直线与椭圆方程联立，消元整理，由根与系数关系，得到的两个关系式，再从已知条件寻找第三个等量关系，根据已知结合平面图形，可得轴，过作的垂线，垂足为，则为线段的中点，得，进而有，代入直线方程，得到等量关系，求解关于方程组，即可求出.

（1）依题意，，

因为离心率，

所以，解得，

所以的标准方程为.

（2）因为直线的倾斜角为，

且是以为顶角的等腰直角三角形，

在直线的右下方，所以轴，

过作的垂线，垂足为，则为线段的中点，

所以，故，

所以，即，

整理得.①

由得.

所以，解得，

所以，②

，③

由①②得，，④

将④代入②得，⑤

将④⑤代入③得，解得.

综上，的值为.