Question

已知函数

（1）求函数的极值点；

（2）当时，当函数恰有三个不同的零点，求实数的取值范围.

Answer

（1）当时，无极值点；当时，有极大值点，无极小值点；（2）

【解析】

（1）求出，对或是否恒成立做为分类讨论标准，若不恒成立，求出单调区间，进而求出极值，得出结论；

（2）求出，要使函数有三个零点，有两个大于零的解，求出的范围，设为两个大于零的解，且有，不妨设，而，只需求出在各存在一个零点的范围，即可求出结论.

（1）因为所以，

所以，

当时，，所以函数无极值点；

当时，令，解得.

由，解得；由，解得.

故函数有极大值点，无极小值点.

综上，当时，函数无极值点；

当时，函数有极大值点，无极小值点.

（2）当时，，

所以，

设，则

①当即时，，所以在单调递减，

所以不可能有三个不同的零点；

②当即时，有两个零点

，，

所以又因为开口向下，

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减.

因为，又，所以，

令

则.

所以在单调递增，

所以，即.

由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点.

又，所以.

所以，所以在区间上有唯一的一个零点，

故当时，存在三个不同的零点.

故实数的取值范围是.