Question

在正项数列中，，，其中．

（1） 写出，及；

（2） 记数列的前n项和，设，试判断与1的大小关系；

（3） 对于（2）中的，不等式对任意大于1的整数恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1），，；（2）；（3）．

【解析】

（1）根据递推公式可知数列为等差数列，由此即可求出；

（2）根据等差数列的前项和公式求出，再根据裂项相消法求出，由此可得答案；

（3）由题意代入数据分离参数得对任意大于1的整数恒成立，再结合基本不等式即可求出答案．

【解析】
（1）∵，，

∴，，且数列为等差数列，

∴；

（2）由（1）可得，

∴，

∴

，

∵，

∴；

（3）由（2）可得，，，

由得，

，

又，

当且仅当即时等号成立，

∴，

∴实数的取值范围为．