Question

已知中心在原点的椭圆的左焦点恰好为圆的圆心，有两顶点恰好是圆与轴的交点，若椭圆上恰好存在两点关于直线对称，则实数的取值范围是___________．

Answer

【解析】

求得圆的圆心，可得椭圆的，求得圆与轴的交点，可得，进而得到，可得椭圆方程，设出椭圆上关于直线对称的两点连线AB的方程为，设两点的坐标为联立椭圆方程，运用判别式大于，以及韦达定理和中点坐标公式，可得中点坐标代入已知直线，可得的关系，进而得到所求范围.

圆的圆心为，得椭圆的，

圆与轴的交点为，可得椭圆的，故，

椭圆的方程为，

设椭圆上关于直线对称两点连线的方程为，

设，

由，得，

，

，

，

设的中点，则，，

中点在，，

，

即.

故答案为：.