Question

设数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式，若为数列的前项和，求；

（2）在（1）的条件下，是否存在自然数，使得对一切恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1），（2）存在，

【解析】

（1）根据题意可推导得到，进而得到数列是等比数列，由等比数列的通项公式得到，即可得到再由错位相减的方法得到结果；

（2）根据第一问得到，数列单调递增，由数列的单调性得到范围，从而得到自然数.

由，令，则，又，所以，

当时，可得，即，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

于是，

，

，

，

从而.

由知，，又，

数列单调递增，

，又，，

要，则，

解得，又，

故.