Question

已知椭圆C: 的左,右焦点分别为且椭圆上的点到两点的距离之和为4

(1)求椭圆的方程;

(2)若直线与椭圆交于两点,为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由

Answer

（1）；（2）定值1

【解析】

（1）由已知求得，又点在椭圆上，代入求得，即可得到椭圆的方程；

（2）设，联立方程组，求得，又由直线的斜率之积等于，化简求得，再由弦长公式和面积公式，即可求解.

（1）由已知，即，又点在椭圆上，

所以，所以，故椭圆方程为.

（2）设，

由，得，

则，即，

且，

因为直线的斜率之积等于，

，

所以，

即，

又到直线MN的距离为，

所以.