Question

如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成二面角锐角的余弦值．

Answer

（1）证明见详解；（2）.

【解析】

（1）取中点为，通过证明//，进而证明线面平行；

（2）取中点为，以为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.

（1）证明：取的中点，连结，，如下图所示：

在中，因为 为的中点，

，且，

又为的中点，，

，且，

，且，

四边形为平行四边形，

又平面，平面，

平面，即证.

（2）取中点，连结，，则，平面，

以为原点，分别以，，为，，轴，

建立空间直角坐标系，如下图所示：

则，，，，，

，，，

设平面的一个法向量，

则，则，

令．则，

同理得平面的一个法向量为，

则，

故平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.