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如图,在正三棱柱中,,,分别为,的中点. (1)求证:平面; (2)求平面与平面...

如图,在正三棱柱中,分别为的中点.

1)求证:平面

2)求平面与平面所成二面角锐角的余弦值.

 

(1)证明见详解;(2). 【解析】 (1)取中点为,通过证明//,进而证明线面平行; (2)取中点为,以为坐标原点建立直角坐标系,求得两个平面的法向量,用向量法解得二面角的大小. (1)证明:取的中点,连结,,如下图所示: 在中,因为 为的中点, ,且, 又为的中点,, ,且, ,且, 四边形为平行四边形, 又平面,平面, 平面,即证. (2)取中点,连结,,则,平面, 以为原点,分别以,,为,,轴, 建立空间直角坐标系,如下图所示: 则,,,,, ,,, 设平面的一个法向量, 则,则, 令.则, 同理得平面的一个法向量为, 则, 故平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值为.
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