Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆上存在一点，满足.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，求的内切圆的半径的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）利用余弦定理和椭圆的定义即可求出a，再根据b2＝a2﹣c2＝3，可得椭圆的方程;（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设△F1AB的内切圆的半径为R，表示出△F1AB的周长与面积，设直线l的方程为x＝my+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，表示三角形面积，令t，利用函数的单调性求解面积的最大值，然后求解△F1AB内切圆半径的最大值为．

（1）设，则内，

由余弦定理得，化简得，解得

故，得

所以椭圆的标准方程为

（2）设，设得内切圆半径为

的周长为

所以

根据题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为

由得

由韦达定理得

令，则

令，则时，单调递增，

即当时，的最大值为，此时.

故当直线的方程为时，内圆半径的最大值为.