Question

已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若恒成立，试确定实数k的取值范围；

（3）证明：且

Answer

（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）求函数定义域，再求导，根据导数的正负，判断函数的单调性即可；

（2）对参数进行分类讨论，求得不同情况下函数的单调性以及最大值，即可求得参数的取值范围；

（3）根据（1）中的结论，构造不等式，进而利用数列求和，即可证明.

（1）易知的定义域为，又

当时，；当时，

在上是增函数，在上是减函数．

（2）当时，，不成立，故只考虑的情况

又

当时，当时，；当时，

在上是增函数，在时减函数

此时

要使恒成立，只要即可

解得：．

（3）当时，有在恒成立，

且在上是减函数，，

即在上恒成立，

令，则，

即，

即：成立．