Question

如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，.

（1）在线段PA上找一点E，使得平面PCD，并证明；

（2）在（1）的条件下，若，求点E到平面PCD的距离.

Answer

（1）E是线段PA的中点，证明详见解析；（2）.

【解析】

（1）当E是线段PA的中点,利用中位线可得,再由平行四边形可得,则平面平面PCD,进而求证即可；

（2）由题可得平面ABCD,利用等体积法可得,即可求得点O到平面PCD的距离为d,进而由（1）的平行关系求解即可

（1）当E是线段PA的中点,

证明:记O为AD的中点,连接BE,OE,OB,

∵O是AD的中点,∴,

又平面PCD,平面PCD,

∴平面PCD,

又∵底面ABCD是直角梯形,,

∴,

又平面PCD,平面PCD,

∴平面PCD,

∵平面OBE,平面OBE,,

∴平面平面PCD,

又平面OBE,

∴平面PCD

（2）解:∵连接PO,CO,

平面平面ABCD,,

∴,∴平面ABCD,

,,,,

,,

设点O到平面PCD的距离为d,由等体积法可得

即,解得

由（1）知点O到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离,

故点E到平面PCD的距离为