Question

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．

（1）求证：AD⊥平面PNB；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

(1)由等边三角形的性质可得PN⊥AD，BN⊥AD，从而可证明.
(2)由平面PAD⊥平面ABCD，结合(1)可得PN⊥平面ABCD，由条件有,从而可求得体积.

（1）连接BD.

∵PA＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD.

又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴BN⊥AD，

又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.

（2）∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，

∴PN⊥平面ABCD，

∴PN⊥NB，∴S△PNB＝.

∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB.

又PM＝2MC，

∴.