Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：（）（说明：）

Answer

（1）在上单调递增，在上单调递减（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）先求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；

（2）不等式化为，构造新函数，通过求导得到g（x）的单调性，求出其最小值，进而求出k的范围；

（3）根据（2）成立可得，令得则，让x取值，累加即可．

（1）因为，，则，

当时，，当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减；

（2）不等式即为，

记，

所以，

令，则，

∵，∴∴在上单调递增，

∴，

从而，故在上也单调递增，

所以，所以；

（3）由（2）知：恒成立，

即，

令，则，

所以，，，……

，

叠加得：，

故（）成立.