Question

已知定义在上的二次函数，且在上的最小值是8.

（1）求实数的值；

（2）设函数，若方程在上的两个不等实根为，证明：.

Answer

（1）4；（2）见解析

【解析】

（1）表示的对称轴，讨论当时，分析单调性在上单调递增，则，同理分别讨论当时，当时两种情况，综上得答案；

（2）由（1）可知，的解析式，分别设两个不等实根为，由对称轴为，得，，再由对称性得到，且，由在R上单调递增，表示不等式，因为且在该区间单调递减可构建不等式，整理为，同样由在R上单调递增，表示所证明的不等式.

（1）对于二次函数的对称轴为

当即时，在上单调递增，

则

当即时，在上单调递减，在上单调递增

则，此时a无解

当，即时，在上单调递减

则（舍）

综上所述：实数的值为4

（2）由（1）可知：，则，

设在上的两个不等实根为

因为对称轴为，所以，，

且整理可得，且

显然在R上单调递增，所以，即

又因为且在该区间单调递减

所以，即

故