Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，， ，，， PA=AB=BC=2. E是PC的中点.

（1）证明： ；

（2）求三棱锥P-ABC的体积；

（3） 证明：平面

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）证明PA⊥平面ABCD, PA⊥CD即得证；（2）直接利用三棱锥的体积公式求解；（3）先证明AE⊥PC， CD⊥AE，平面即得证.

（1）因为， ，平面ABCD,

所以PA⊥平面ABCD, 因为平面ABCD,

所以PA⊥CD.

（2）因为PA⊥平面ABCD，所以PA是三棱锥P-ABC的高，

所以.

（3）因为， AB=BC=2.

所以AC=PA=2,

因为E是PC的中点，

所以AE⊥PC.

因为CD⊥AC,AP⊥CD,平面APC,

所以CD⊥平面PAC,

所以CD⊥AE.

因为平面PCD,

所以AE⊥平面PCD.