Question

已知M为圆C：x²＋y²－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q（－2,3）．

（1）求|MQ|的最大值和最小值；

（2）若M（m，n），求的最大值和最小值

Answer

（1）6，2（2）最大值为2＋，最小值为2－

【解析】

试题（1）求圆上的点到定点的距离最值，首先求圆心到直线的距离，再此基础上加减半径得到距离的最大值和最小值；（2）看作两点连线的斜率，结合图形可知斜率的最值为直线与圆相切时的切线斜率

试题解析：（1）由C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0可得（x－2）2＋（y－7）2＝8，

∴圆心C的坐标为（2,7），半径r＝2．

又|QC|＝＝4．∴|MQ|max＝4＋2＝6，

|MQ|min＝4－2＝2．

（2）可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k（x＋2），

即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k．由直线MQ与圆C有交点，

所以≤2．可得2－≤k≤2＋，

所以的最大值为2＋，最小值为2－．