Question

已知数列满足（，且），且，设，，数列满足.

（1）求证：数列是等比数列并求出数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和；

（3）对于任意，，恒成立，求实数m的取值范围.

Answer

(1)见解析（2）(3) .

【解析】

（1）将式子写为：得证，再通过等比数列公式得到的通项公式.

（2）根据（1）得到进而得到数列通项公式，再利用错位相减法得到前n项和.

（3）首先判断数列的单调性计算其最大值，转换为二次不等式恒成立，将 代入不等式，计算得到答案.

（1）因为，

所以，，

所以是等比数列，其中首项是，公比为，

所以，.

（2），

所以，

由（1）知，，又，

所以.

所以，

所以两式相减得

.

所以.

（3）

，所以当时，，

当时，，即，

所以当或时，取最大值是.

只需，

即对于任意恒成立，即

所以.