Question

已知直线与抛物线交于P，Q两点，且的面积为16（O为坐标原点）．

（1）求C的方程.

（2）直线l经过C的焦点F且l不与x轴垂直；l与C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，试问在x轴上是否存在点E，使为定值？若存在，求该定值及E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）存在点E，且E的坐标为

【解析】

（1）由的面积为16，得到，故得解;

（2）设直线l的方程为，联立得到韦达定理，得到，表示线段AB的垂直平分线的方程，得到，分析即得解.

（1）将代入，得，

所以的面积为．

因为，所以，

故C的方程为．

（2）由题意设直线l的方程为，

由，得．

设，则，

所以，

因为线段AB的中点的横坐标为，纵坐标为，

所以线段AB的垂直平分线的方程为，

令，得，所以D的横坐标为，

设，则，

当且仅当，即时，为定值，且定值为2，

故存在点E，且E的坐标为．