Question

数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：

①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线上任意一点到原点的距离都不超过.

③曲线所围成的“花形”区域的面积小于4.

其中，所有正确结论的序号是_______.

Answer

②

【解析】

①利用均值不等式，得到，结合x,y均为整数，即得解；

②由于，故，故得解；

③构造，得到，同理有，即第一象限部分图像应在y=1,x=1与坐标轴围成的正方形外部，分析易得解.

①，要使得x,y均为整数，只能取-1,0,1三个数，则可得整数点有8个：，故①不正确；

②由于，故，故曲线上任意一点到原点的距离都不超过，正确；

③令

记函数，所以函数有两个零点，

又因为，故两个零点一个小于0，一个大于1，

即曲线上，同理有

即第一象限部分图像应在y=1,x=1与坐标轴围成的正方形外部，根据图像对称性可得面积大于4，故不正确.

故答案为：②