Question

如图，在直三棱柱中，，，，，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析 （2）

【解析】

（1）连接交于点，连接，由矩形的性质，结合三角形中位线定理可得，由线面平行的判定定理可得结果；（2）先证明，分别以，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求得平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.

（1）连接交于点，连接，因为四边形是矩形，所以点是的中点，

又点为的中点，所以是的中位线，所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（2）由，，，可得，

分别以，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，，，，

所以，，，

设直线与平面所成角为，平面的法向量为，

则，即，令，得，

所以 .