Question

如图，一张坐标纸上已作出圆：及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为.

（1）求轨迹的方程；

（2）若直线与轨迹交于两个不同的点,且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．

Answer

(1)；(2).

【解析】

试题（1）折痕为的垂直平分线，则，推导出的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，由此能求出的轨迹的方程．

（2）与以为直径的圆相切，从而，由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出的面积的取值范围．

试题解析：

（1）折痕为的垂直平分线，则，由题意知圆的半径为，

∴，

∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，

∴，∴的轨迹的方程为.

（2）与以为直径的圆相切，则到即直线的距离：

，即，

由，消去，得，

∵直线与椭圆交于两个不同点，

∴，，

设，，则，，

，

又 ，∴，∴，

设，则，∴ ，，

∵关于在单调递增，∴，∴的面积的取值范围是.