Question

已知函数.

(1)若函数与函数在处有相同的切线,求实数的值;

(2)当时, ,求实数的取值范围.

Answer

（1）.

（2）.

【解析】

（1）根据题意，求出f（x）与g（x）的导数，由导数的几何意义可得f'（1）=g'（1），则2λ=1，解可得λ的值，即可得答案；

（2）根据题意，设h（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx﹣λ（x2﹣1），则原问题可以转化为h（x）≤0对∀x∈[1，+∞）恒成立，求出h（x）的导数，利用导数与函数单调性的关系，分析可得答案．

(1)由题意得,

又,且函数与在处有相同的切线,

,则,即.

(2)设,则对恒成立.

,且,即.

另一方面,当时,记,则.

当时,在内为减函数,

当时,,即在内为减函数,

当时,恒成立,符合题意.

当时,

①若,则对恒成立,

在内为增函数,当时,恒成立,不符合题意.

②若,令,则

在内为增函数,当时,,即

在内为增函数,当时,,不符合题意,

综上所述.