Question

在直角坐标系中，已知椭圆，若圆的一条切线与椭圆有两个交点，且.

（1）求圆的方程；

（2）已知椭圆的上顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且，求直线的方程.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）先讨论切线斜率存在时，设圆的切线为，点，由直线与椭圆方程联立方程组后消元韦达定理可得，代入可得出的关系，从而可求得圆心到此直线的距离即圆半径，得圆方程，验证当斜率不存在的直线也满足题意；

（2）设点，由，得，由分别在椭圆和圆上，联立方程组解得后可得直线方程．

（1）设圆的切线为，点.由方程组得，得.因为，所以，即.又因为点在直线上，所以，即.所以，化简得，所以圆的半径，所以圆的方程为.此时，当切线为时，易证满足.

（2）设点，点，由，得.代入椭圆和圆得解得或者所以点或

.故直线的方程为或．.