Question

已知数列，若对任意的，，，存在正数使得，则称数列具有守恒性质，其中最小的称为数列的守恒数，记为.

（1）若数列是等差数列且公差为，前项和记为.

①证明：数列具有守恒性质，并求出其守恒数.

②数列是否具有守恒性质？并说明理由.

（2）若首项为1且公比不为1的正项等比数列具有守恒性质，且，求公比值的集合.

Answer

（1）①见解析，.②数列不具有守恒性质.见解析（2）

【解析】

（1）①运用等差数列的通项公式和数列具有守恒性质可得结论；

②数列不具有守恒性质，运用等差数列的求和公式和不等式的性质可得结论；

（2）讨论，，由等比数列的通项公式和不等式的性质，构造数列，运用单调性，即可得到所求范围．

【解析】
（1）①因为是等差数列且公差为，所以，

所以对任意，，

恒成立，

所以数列具有守恒性质，且守恒数.

②假设数列具有守恒性质，因为，所以存在实数，

.

若，则当时，，矛盾；

若，则当时，，矛盾.

所以数列不具有守恒性质.

（2）显然且，因为，所以.

因为数列具有守恒性质，

所以对任意，，存在正数使得，

即存在正数，对任，都成立.

（i）若，等比数列递增，不妨设，则，

即，

设，由式中的，任意性可知，数列不递增，

所以对任意恒成立.

而当，，

所以不符题意.

（ii）若，则数列单调递减，不妨设，则，

即，

设，由式中的，任意性可知，数列不递减，

所以对任意恒成立，

所以对任意恒成立，

显然，当，时，单调递减，

所以当时，取得最大值，

所以.

又，故，即.

综上所述，公比的取值集合为.