Question

在直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为6，点为其准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.

（1）求抛物线的方程；

（2）当点在轴上时，证明:为等腰直角三角形.

（3）证明：为直角三角形.

Answer

（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）根据抛物线的定义可知，到焦点的距离等于到准线的距离，得到求出参数即可求出抛物线的解析式；

（2）由（1）可得，由题意知切线的斜率存在且不为0，设为，所以切线方程为，联立直线与抛物线方程，消去得到关于的一元二次方程，根据求出的值，即可求出、的坐标，即可得证；

（3）设点，由题意知切线的斜率存在且不为0，设为，所以切线方程为，联立直线与抛物线方程，消去得到关于的一元二次方程，根据求出的值，即可得证；

【解析】
（1）根据题意可得，得，

所以抛物线的方程为.

（2）抛物线：的准线方程为，

所以点，由题意知切线的斜率存在且不为0，设为，

所以切线方程为.

由方程组，得，

所以，

解得，解得.

不妨取，，易得为等腰直角三角形.

（3）设点，由题意知切线的斜率存在且不为0，设为，

所以切线方程为，

由方程组，

得，

此时

，

所以，即.

所以为直角三角形.