Question

已知函数f(x)＝ln(x+1)－x．

⑴求函数f(x)的单调递减区间；

⑵若，证明：．

Answer

⑴（0，＋∞）；⑵证明见详解

【解析】

第一问利用导数求函数的单调递减区间，第二问是函数类不等式的证明，这类问题常常以导数为工具，利用函数的单调性来解决．

【解析】
【解析】
（1）函数f(x)的定义域为．＝－1＝－．由<0及x>－1，得x>0．∴ 当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）．

（2）证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0，

因此，当时，≤，即≤0∴．

令，则＝．

∴ 当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．

∴ 当时，≥，即≥0，∴．

综上可知，当时，有．