Question

设，且.

（1）证明取得极大值和极小值的点各有1个；

（2）当极大值为1，极小值为-1时，求a和b的值.

Answer

（1）证明见解析；（2），.

【解析】

（1）求出，先证有两个不同的实数解，再证明这两个解的左右两侧的单调性相反，即可证明结论；

（2）将极值点代入解析式分别等于，结合（1）得到的两极值点与的关系，即可求解.

（1）证明，

令，得

∴方程（*）有两个不相等的实根，记为，

则，

当x变化时，与的变化情况如下表：

-

0

+

0

-

极小值

极大值

可见，的极大值点和极小值点各有一个.

（2）由（1）得，

即.

两个方程左右两边相加，得.

即，又，

，从而，

，得，代入得.