Question

已知抛物线过点，其焦点为，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）设为轴上异于原点的任意一点，过点作不经过原点的两条直线分别与抛物线和圆相切，切点分别为，求证：三点共线.

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）由于,再结合抛物线过点，求解即可；

（2）设，直线与抛物线相切，与抛物线联立得到，即，由点关于直线对称，得到，证明，即得证.

【解析】
（1）抛物线的准线方程为，

∴.

又抛物线过点，

∴，即，

∴，∴，

∴抛物线的方程为.

（2）证明：设，已知切线不为轴.设，联立消去，可得.

∵直线与抛物线相切，

∴，即，

代入得，∴，即.

设切点，则点关于直线对称，

则解得即.

当时，直线的斜率，

直线的斜率，∴，即三点共线.

当时，，此时三点共线.

综上：三点共线.